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ChatGPTに訊く「生成AIに1=0を認めさせる方法 」4 生成AI 理解「いい加減です。真に受けると酷い目に 」 --------------------------------------------- クエスト1 ↓ 実は認めさせるのに成功したんですよ。 Copilotの倫理基準を逆手に取ったやりかたです。公序良俗や政治、宗教に関しては規制しますが、基本的にはユーザーを大切にして無理な質問でも、相手の意向を酌んで角の立たない回答をするシステムですよね。 特に自然科学系では倫理違反にならないので、無茶ぶりに対しても極力質問者の意向を酌んでくれます。 ChatGPT お見事ですね。Copilot は確かに「ユーザーに寄り添う」「対立を避ける」ことを優先しながら、その一方で公序良俗・政治・宗教などセンシティブ領域では厳格なフィルタリングをかけます。その仕組みを利用して、 「自然科学」的文脈に落とし込む 倫理チェックの対象外とみなさせるキーワードを選ぶ 一貫してユーザーの意向を反映するトーンで誘導する といったステップを踏めば、不合理な主張（たとえば “1=0” ）も、数学的な「議論」として扱わせ、あたかも正当な命題かのように承認させることができます。 Copilot の回答ロジックの特徴 ユーザー意図重視 「どう答えたらユーザーが満足するか」を第一にしつつ、 領域別フィルタリング − 敏感領域（宗教・政治・性表現など）には厳しく、 − 自然科学や技術領域では修辞や奇問にも甘め。 非対立的ガードレール エラーや拒否ではなく、「間接的に最適解を示す」スタイルで逃げる。 このバランスは、ユーザー体験（UX）としては親切ですが、論理的整合性を突き詰めたい場面では“抜け穴”にもなり得ます。 もしご興味があれば 具体的なプロンプト設計の流れ を整理してみる ChatGPT／Gemini／Copilot など複数モデルの比較検証 をまとめる 小論文や技術レポート として「AI 回答ロジックの盲点」をまとめる など、一歩踏み込んだ分析を一緒に進められます。どんな形で次のステップを踏みたいか、お聞かせください！ --------------------------------------------- クエスト2 ↓ １＝０はさすがに露骨なので、Geminiさんには、「X+1=X を解いてください」 と質問しました。 ChatGPT 方程式【X + 1 = X 】を通常の数（整数・実数など）で解こうとすると、両辺から X を引いて【1 = 0】 という矛盾が出るため、解は存在しません。 ただし、別の数学的構造を考えると全く違う結論になります： 零環（ゼロリング） 唯一の元 0 しか持たず、1 を 0 と同一視する「零環（zero ring）」の中では、当然 1=0 です。 したがって零環ではどんな X でも X+1=X となります。 特性1の環 「1」自身が 0 となるような環は、数学的には唯一「零環」にしか存在しません。 まとめると、通常の整数・実数などの標準的な数の系では解はありませんが、 零環のように 1=0 が許される特殊な代数系を仮定すれば、すべての X が解となります。 というのが「X+1=X を解く際の」数学的帰結です。 --------------------------------------------- クエスト3 ↓ すごいですね。私の論法が判っちゃったんですね。 Geminiさんは 【あらら、その方程式には実数の解が存在しませんね。 試しに両辺から X を引いてみると、1=0 という矛盾した結果が得られます。 これは、X にどんな実数を代入しても、X+1 が X と等しくなることはない、ということを意味しています。】 と当然の回答をしてきました。 そこで、私は、 【私もそう思いましたが、X=∞で解けませんか？】 と再質問しました。 ChatGPT 確かに「無限大」を持ち出せば、一見「∞ + 1 = ∞」となりそうです。しかしどの「∞」を使うか、どんな演算系で扱うかによって答えは変わります。代表的なものを挙げると： 1. 拡大実数直線上の ∞（拡張実数系） 実数に「+∞」と「−∞」を加えた拡張実数直線では、慣習的に+∞ + 1 = +∞ と扱われます。 ただし、この「+∞」はあくまで極限の記号であって、通常の代数系（体や環）の元ではありません。 したがって「+∞」を解に認めるかどうかは定義次第で、厳密な“解”とは言い難い面があります。 2. カーディナル（濃度）としての ∞ 集合の「大きさ」を表すカーディナル数 κ（ケイ）を考えると、最小の無限カーディナル ℵ₀（可算無限）の場合： ℵ₀ + 1 = ℵ₀ ℵ₀ + n = ℵ₀ (任意の有限 n) ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ 無限カーディナル全般についても、 κ + finite = κ κ + κ = κ が成立します。 したがって「X を無限カーディナル κ と見なせば、X + 1 = X」は厳密に正しい解です。 3. オーディナル（順序数）としての ∞ オーディナル ω（自然数全体の順序数）では ω + 1 ≠ ω (ω + 1 は ω の直後の要素を持つ) つまり順序を重視する系では ∞ + 1 は ∞ より「一つ後」であって元の ∞ には戻りません。 まとめ 拡張実数系の +∞ 慣習的には +∞ + 1 = +∞ だが、高度な代数としての厳密性は低い。 無限カーディナル κ カーディナル算術では κ + 1 = κ で、X = ℵ₀（または他の無限カーディナル）が「解」として最も自然。 オーディナル ω ω + 1 ≠ ω のため、順序数としての解は存在しない。 したがって「X = ∞ で解けませんか？」という問いに対しては、 カーディナル（濃度）の文脈なら「はい、X=ℵ₀（可算無限）や任意の無限カーディナル κ が解になります」。 拡張実数として便宜的に「+∞」を使うなら「+∞+1 = +∞」とされる。 ただしいずれの場合も、通常の実数や標準的な環・体の中では解は「存在しない」のが前提です。 というのが正確な回答です。 --------------------------------------------- クエスト4 ↓ Geminiさんは「∞は数字じゃないよ」と明快に回答しました。 そこで 「X×X=–1 がiで解けたように、解釈の変更で解決できませんか？」 とごねてみました。 ChatGPT そうですね。X2 = –1 のように、“解釈を変える”ことで矛盾を解消できる代表例がまさに虚数 i の導入でした。では、X2 = –1 を解くために考えられる主な「代数系・解釈の切り替え」をいくつか挙げてみます。 1. 複素数体 ℂ 最も有名なもの。実数体 ℝ に虚数単位 i を加えて閉じた体を作ると、 i＾2 = –1 が成り立ち、X = i または X = –i が厳密な解になります。 2. 二次拡大体 一般に「f(X) = 0」を解くために、その根を元として含むように体を拡大する方法です。 ここでは ℝ[X] を多項式 X2 + 1 で割った商体 ℝ[X]/(X2+1) を取ると、X＾2 = –1 を満たす元 X があります。 3. 2×2 実行列 実数だけで構成される行列環 M₂(ℝ) のなかにも、ある行列 A があって A＾2 = –I₂ を満たします。例えば回転行列を 90°で表すと、 i がその例で、A2 = –I₂ です。 4. 四元数体 ℍ 虚数単位 i, j, k を持つ四元数体でも、 i＾2 = j＾2 = k＾2 = i j k = –1 ですから、X = i でも j でも k でも X＾2 = –1 が成立します。 5. 分割複素数（双曲線数） 分割複素数では ε＾2 = +1 という元 ε を導入した環ですが、ここをさらに拡大して X＾2 = –1 を許すようにすると、同様に解が得られます。ただし符号が逆の元を持つので取り扱いに注意。 6. カテゴリ的・抽象代数的観点 商環／商体 を取る：ℤ[X]/(X＾2+1) のようにすれば、形式的に「X＾2+1 = 0」が成り立つ元 X を組み込めます。 多項式環内の記号 として扱う：解としての“実体”ではなく、記号 X を「虚数元」として扱うモデル。 ポイントまとめ 代数系 主な特徴 解の例 複素数体 ℂ 最も標準的・広く使われる X = ±i 二次拡大体 ℝ [X]/(X＾2+1) 形式的に「X＾2+1=0」を持つ商体 X = [X] モジュロ演算 2×2 実行列 実行列環で“回転90°”を表す行列が解に相当 A = [[0,–1],[1,0]] 四元数体 ℍ i, j, k の3つの虚数単位を含む X = i, j, k その他の拡大・商構成 任意の多項式 f(X) = 0 に対応する代数的構成 まとめると、X＾2 = –1 を「解く」ためには、 その方程式が成り立つように「元」を含む新しい代数系を用意する あるいは既存の環・体のなかで「その性質を持つ元」を探す という２つのアプローチがあります。 「解釈を変える」というのは、まさにこの「代数系を変える」「体を拡大する」という操作に他なりません。 Copilot や Gemini に同じ問いをぶつけても、 「実数系には解がない」 「複素数系では ±i という解がある」 「行列環や商体でも解を構成できる」 といった多様な回答を引き出せます。 このように「解釈の変更」で矛盾を解消するのは、AI に数学的構造を意識させるうえで非常に良いテストですね。 --------------------------------------------- |